Question

已知函数f(x)=(1/3)^x,函数g(x)=log(1/3)x,(1)若g(mx²+2x+m)的值域为R，求实数m的取值范围；

(2）当x∈[-1,1]时，求函数y=[f(x)]²-2af(x)+3的最小值h(a)；(3)是否存在非负实数m，n，使得函数y=log1/3[f(x²)]的定义域为[m,n]，值域为[2m,2n]。若存在，求出m、n的值;若不存在，则说明理由。
求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

(1)g(mx²+2x+m)的值域为R,
<==>R+是mx²+2x+m的值域的子集，
<==>m>=0,1-m^2>=0,
<==>0<=m<=1.
(2)x∈[-1,1]时，u=f(x)=(1/3)^x的值域是[1/3,3],
函数y=[f(x)]²-2af(x)+3=u^2-2au+3=(u-a)^2+3-a^2,记为g(u),
它的最小值h(a)={3-a^2,a∈[1/3,3];
{g(1/3)=28/9-2u/3,a<1/3;
{g(3)=12-6a,a>3.
(3)y=log<1/3>[f(x²)]=x^2,x∈[m,n](m,n>=0)是增函数，
∴存在非负实数m，n，使得函数y=log<1/3>[f(x²)]的定义域为[m,n]，值域为[2m,2n]，
<==>m^2=2m,n^2=2n,
<==>m,n是方程x^2-2x=0的两根，
<==>m=0,n=2.