Question

已知函数f(x)=-2^x/2^x+1

1）用定义证明函数为减函数 （2）若x∈[1,2],求函数的值域 （3）若g(x)=a/2+f(x)，且当x∈[1,2]时，g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

1.任取x1、x2满足x1<x2，则：
f(x1)-f(x2)=-2^x1/(2^x1+1)-[-2^x2/(2^x2+1)]
=[-2^x1*(2^x2+1)+2^x2*(2^x1+1)]/[(2^x1+1)*(2^x2+1)]
=(2^x2-2^x1)/[(2^x1+1)*(2^x2+1)]
显然分母大于0，因为x1<x2，∴2^x2>2^x1 ∴f(x1)-f(x2)>0 即：f(x1)>f(x2)
∴函数f(x)为减函数
2.∵f(x)为减函数，所以在区间[1,2]上 f(x)max=f(1)=-2/3 f(x)min=f(2)=-4/5
∴函数的值域为[-4/5,-2/3]
3.g(x)=f(x)+常数，故g(x)也是减函数，且在区间[1,2]上值域为[a/2-4/5,a/2-2/3]
若要g(x)>=0 则需要g(x)min>=0
即：a/2-4/5>=0
解得：a>=8/5

Answer 2

13'95