Question

在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-1,0)，B(3,0),c(0,-1)三点，大虾帮忙。

1.求该抛物线表达式。
2.点Q在y轴上，点P在抛物线上，要以点Q,P,A,B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P坐标，

Answer 1

1.由a，b两点可知，对称轴是x＝1，于是表达式可写成y＝（x－1）的平方－常数值，将c点带入可得到表达式为y＝（x－1）的平方－4。
2．平行四边形只要满足AB＝QP且AB‖QP，或者是AQ＝BP且AQ‖BP，或者AP＝BQ且AP‖BQ，根据这个条件求出p点坐标即可。

Answer 2

设y=ax²+bx+c
将A，B，C分别代入：
0=a-b+c
0=9a+3b+c
-1=c，a=1/3，b=-2/3
∴y=x²/3-2x/3-1
=（1/3）（x-1）²-4/3
对称轴x=1.
∵B-A=4，∴|PQ|=4
（1）令x=4，y=16/3-8/3-1=5/3
∴P（4,5/3），Q（0,5/3）
（2）令x=-4，y=16/3+8/3-1=7
∴P（-4,7），Q（0,7）

Answer 3

第二问：①AB为边时，只要PQ‖AB且PQ=AB=4即可。
又知点Q在y轴上，
∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1,P2 .

而当x=4时，y=5/3；当x=-4时，y=7，

此时P1（4，5/3）P2（-4,7）

②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可

又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1

∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3

而且当x=2时y=-1 ，此时P3（2，-1）

综上，满足条件的P为P1（4，5/3）P2（-4,7）P3（2，-1）