Question

已知数列an中,a1=1,an+1=an+2^n,求数列的通项公式？

Answer 1

an=Sn-S(n-1)
a1=1
a2= a1+2^1
a3=a2+2^2=a1+2^1+2^2
…………
a(n-1)=a(n-2)+2^(n-2)=a1+2^1+2^2+2^3+………+2^(n-2)
an=a(n-1)+2^(n-1)=a1+2^1+2^2+2^3+………+2^(n-2)+2^(n-1)

把以上式子相加
Sn=na1+(n-1)2^1+(n-2)2^2+(n-3)2^3+……+2*2^(n-2)+2^(n-1)
S(n-1)=(n-1)a1+(n-2)2^1+(n-3)2^2+(n-4)2^3+……+1*2^(n-2)

用Sn-S(n-1)=an
故an=a1+2^1+2^2+2^3+2^4+……+2^(n-1)
到这里 an右边的式子 就相当于一个等比数列的求和 其中 首项是a1=1 公比是2 求前n项的和
用公式即可
因此an=2^n-1

Answer 2

因为a（n+1)=an+2^n
所以a2＝a1+2^1
a3＝a2+2^2
a4=a3+2^3
……………………
a（n+1)=an+2^n
以上n项相加得：a（n+1)=a1+(2^1+2^2+2^3+……+2^n)＝1+[2×（1-2^n)/(1-2)]
所以a（n+1)=2^(n+1)-1
所以an＝2^n-1

Answer 3

an+1=an+2^n
an=an-1+2^n-1
an-1=an-2+2^n-2
.....
a3=a2+2^2
a2=a1+2
a1=1
以上式子加起来再消去同项即可