Question

曲线积分

Answer 1

因Q与3x^2y有连续的偏导数，且曲线积分与路径无关，从而
Q'x=(3x^2y)'y=3x^2（偏导数)→Q=x^3+f(y)
设L1为(0,0)→(1,z)→(z,1)→(0,0)三线段组在的封闭曲线，由于曲线积分与路径无关，因此∮L1=0，因(0,0)→(1,z)的曲线积分＝(0,0)→(z,1)的曲线积分，故(0,0)→(1,z)的曲线积分＋(z,1)→(0,0)的曲线积分＝0，而过两点(1,z)、(z,1)的直线方程为：y=-x+1+z，故
0=∫[(1,z)→(z,1)]3x^2ydx+Qdy
=∫[(1,z)→(z,1)]3x^2ydx+(x^3+f(y))dy
=∫[1,z]{3x^2(-x+1+z)-(x^3+f(-x+1+z))}dx
=-z^4+(1+z)z^3-z+∫[1,z]f(-x+1+z)dx
=z^3-z+∫[1,z]f(-x+1+z)dx→
∫[1,z]f(-x+1+z)dx（令t=-x+1+z）
=-∫[z,1]f(t)dt=∫[1,z]f(t)dt=-z^3+z
等式两边对z求导得
f(z)=-3z^2+1
从而Q(x,y)=x^3-3y^2+1