曲线积分
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因Q与3x^2y有连续的偏导数，且曲线积分与路径无关，从而
Q'x=(3x^2y)'y=3x^2（偏导数)→Q=x^3+f(y)
设L1为(0,0)→(1,z)→(z,1)→(0,0)三线段组在的封闭曲线，由于曲线积分与路径无关，因此∮L1=0，因(0,0)→(1,z)的曲线积分＝(0,0)→(z,1)的曲线积分，故(0,0)→(1,z)的曲线积分＋(z,1)→(0,0)的曲线积分＝0，而过两点(1,z)、(z,1)的直线方程为：y=-x+1+z，故
0=∫[(1,z)→(z,1)]3x^2ydx+Qdy
=∫[(1,z)→(z,1)]3x^2ydx+(x^3+f(y))dy
=∫[1,z]{3x^2(-x+1+z)-(x^3+f(-x+1+z))}dx
=-z^4+(1+z)z^3-z+∫[1,z]f(-x+1+z)dx
=z^3-z+∫[1,z]f(-x+1+z)dx→
∫[1,z]f(-x+1+z)dx（令t=-x+1+z）
=-∫[z,1]f(t)dt=∫[1,z]f(t)dt=-z^3+z
等式两边对z求导得
f(z)=-3z^2+1
从而Q(x,y)=x^3-3y^2+1
Q'x=(3x^2y)'y=3x^2（偏导数)→Q=x^3+f(y)
设L1为(0,0)→(1,z)→(z,1)→(0,0)三线段组在的封闭曲线，由于曲线积分与路径无关，因此∮L1=0，因(0,0)→(1,z)的曲线积分＝(0,0)→(z,1)的曲线积分，故(0,0)→(1,z)的曲线积分＋(z,1)→(0,0)的曲线积分＝0，而过两点(1,z)、(z,1)的直线方程为：y=-x+1+z，故
0=∫[(1,z)→(z,1)]3x^2ydx+Qdy
=∫[(1,z)→(z,1)]3x^2ydx+(x^3+f(y))dy
=∫[1,z]{3x^2(-x+1+z)-(x^3+f(-x+1+z))}dx
=-z^4+(1+z)z^3-z+∫[1,z]f(-x+1+z)dx
=z^3-z+∫[1,z]f(-x+1+z)dx→
∫[1,z]f(-x+1+z)dx（令t=-x+1+z）
=-∫[z,1]f(t)dt=∫[1,z]f(t)dt=-z^3+z
等式两边对z求导得
f(z)=-3z^2+1
从而Q(x,y)=x^3-3y^2+1
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上海蓝菲
2025-04-21 广告
基本释义，integrating sphere。具有高反射性内表面的空心球体。用来对处于球内或放在球外并靠近某个窗口处的试样对光的散射或发射进行收集的一种高效能器件。球上的小窗口可以让光进入并与检测器靠得较近。积分球又称为光通球，是一个中空...
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本回答由上海蓝菲提供
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