Question

已知函数fx=x2-2lnx(1)求fx的单调区间(2)若fx≥2tx-1

已知函数fx=x2-2lnx(1)求fx的单调区间(2)若fx≥2tx-1/x2在x属于(0，1]内恒成立求t的取值范围

Answer 1

解：(1)由题意知x＞0，f′（x）=2x-2/x=[2(x 1)(x−1)]/x，
令f′（x）=0，得x=-1（舍）或x=1
当0＜x＜1时，f′（x）＜0
当x＞1时，f′（x）＞0
∴f（x）的增区间为（1， ∞），减区间为（0，1）
(2)f（x）≥2tx-1/x²
⇔2t≤x 1/x³−2lnx/x
令h(x)＝x 1/x³−2lnx/x,
h′(x)＝(x⁴−2x²−3 2x2lnx)/x⁴
∵x∈（0，1]
∴x⁴-3＜0，-2x²＜0，2x²lnx＜0，x⁴＞0
∴h'（x）＜0，即h（x）为（0，1）上的减函数．
∴当x=1时，h(x)＝x 1/x³−2lnx/x有最小值h（1）=2
∴2t≤2
故t≤1