Question

已知f(x)=-sin²x+sinx+a,若1≤f(x)≤17/4对一切x∈R恒成立,求实数a的范围

Answer 1

f(x)=-sin²x+sinx+a
=-(sinx-1/2)^2+1/4+a
sinx=-1,f(x)min=1=a-2,a=3
sin=1/2,f(x)max=17/4=a+1/4,a=4
3<=a<=4

Answer 2

f(x)=-sin²x+sinx-1/4+1/4+a
=-(sinx-1/2)²+1/4+a

-1<=sinx<=1
所以sinx=1/2，最大值=1/4+a
sinx=-1，最小值=-2+a
即-2+a≤f(x)≤1/4+a
要满足1≤f(x)≤17/4

则-1≤-2+a且1/4+a≤17/4
a≥1,a≤4
所以1≤a≤4

Answer 3

f(x)=-sin²x+sinx+a=-（sinx-1/2）²+a+1/4
又1≤f(x)≤17/4
所以1≤-（sinx-1/2）²+a+1/4≤17/4
所以1+（sinx-1/2）²≤a+1/4≤17/4+（sinx-1/2）²
所以3/4+（sinx-1/2）²≤a≤17/4+（sinx+1/2）²-1/4
因为-1≤sinx≤1,所以
0≤（sinx-1/2）²≤9/4
所以3≤a≤4