Question

求解一道微分方程的题

题目：
y1和y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使得λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，问λ、μ是多少？
答案：
根据已知，有λy1''+y1p(x)=q(x),λy2''+y1p(x)=q(x)。于是有
(λy1+μy2)''+(λy1+μy2)p(x)=(λ+μ)q(x)
(λy1-μy2)''+(λy1-μy2)p(x)=(λ-μ)q(x)
因为λy1+μy2是方程的解，所以有λ+μ=1，又λy1-μy2是齐次解，所以λ-μ=0
所以有λ=μ=0.5
厄，我的问题是：
1.答案第一行λy1''是咋回事？为啥会有个2次导数出现？还有λ事怎么带进来的？
2.第二行，同样，为啥会有2次导数？还有等式右边的q(x)的系数λ+μ又是怎么带进来的？
3.第三行，因为是齐次解，所以λ-μ=0，是说，只要是齐次的，就是因为q(x)的系数等于0是吗？这个系数跟通解又有啥关系啊？
（求教解答，虽然问得多，但是无奈分少，所以没法悬赏那么多）
关于q(x)的λ+μ和λ-μ这2个系数，是怎么带到原来方程里的？
还有既然说y1是方程的解，为啥把λy1带入了方程？
求教~

Answer 1

我想帮你来着 可我比你的疑问还多 奈何奈何 五十分飘过 我不会

Answer 2

1.2阶导是写错了吧

2.λy1'+y1p(x)=q(x)....(1),λy2'+y1p(x)=q(x).....(2)

(1)-(2)=>(λy1-μy2)'+(λy1-μy2)p(x)=(λ-μ)q(x)

因为λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,所以有

(λy1-μy2)'+(λy1-μy2)p(x)=0;

所以可以得出(λ-μ)q(x)=0 ==>(λ-μ)=0;