Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图像过点（-1,0）

是否存在常数a，b，c，使得不等式x≤y≤0.5（1+x²）对一切实数x都成立？若存在，求出a，b，c；若不存在请述明理由

Answer 1

分析：通过图象过一点得到a、b、c一关系式，观察发现1≤f(1)≤1，又可的一关系式，再将b、c都有a表示．不等式x≤f(x)≤（x²+1）/2，对一切实数x都成立可转化成两个一元二次不等式恒成立，即可解得．
解：∵f（x）的图象过点（-1，0），∴a-b+c=0
∵x≤f(x)≤（x²+1）/2 对于一切x∈R 均成立
∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．

由a-b+c=0与+b+c=1可得 b=0.5 c=0.5-a

∴f（x）=ax²+0.5x+0.5-a
∴x≤ax²+0.5x+0.5-a≤（x²+1）/2
∴ ax²+0.5x+0.5-a≥0 ...①
(1-2a)²-x+2a≥0 ......②
①②恒等变形为： △1≤0， △2＜等于0，a＞0, 1-2a ＞0
有恒等推出------0.25-4a(2a-1)≤0 ，1−8a(1−2a)≤0 ，a＞0，1−2a＞0

解得a=0.25 ∴c=0.5-0.25=0.25

所以常数abc的值为 a=0.25 b=0.5 c=025

本题考查了函数恒成立问题，以及二次函数的性质，赋值法（特殊值法）可以使问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法．

追问

为什么由x≤ax²+0.5x+0.5-a≤（x²+1）/2可得ax²+0.5x+0.5-a≥0？是怎么变形的？

追答

因为对于 x∈R都成立

追问

他是怎么变过去的？为什么不会是≤0

追答

因为 ：x≤ax²+0.5x+0.5-a≤（x²+1）/2

就是变个形而已

追问

在恒等变形中为什么△1和△≤0而不是≥0？还有推出式不应为0.25-4a（0.5-a）吗，怎么会是0.25-4a(2a-1)？