Question

设F1，F2是双曲线C： C:x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0) 的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，

设F1，F2是双曲线C： C:x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为____ ．
解答：解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，求出e=根号3。不明白为什么△PF1F2的最小内角是∠PF1F2

Answer 1

　　设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|-|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴|PF2|²＝|PF1|²+|F1F2|²-2|PF1|•|F1F2|cos30°，所以（2a）2=（4a）2+（2c）2-2×4a×2c×√3/2
　　同时除以a²，化简e²－2√3e＋3=0；
　　所以e=√3

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希望对你能有所帮助。