Question

无限个无穷小的乘积是不是无穷小？

今早我们上高数的时候，老师提了这么一个思考题，叫我们给出我们的答案，并且要有相应的例子，实在不知道，只能来这儿求救了

Answer 1

你之所以无法理解为何无限个无穷小乘积不一定是无穷小是因为你没搞清这两点

1.无穷小不是一个数，而是在某个微小邻域内极限值为0的函数

2.无限个无穷小，不是很多个无穷小，很多个到无穷个是量变到质变的过程。

参考有限个无穷小之积仍然是无穷小的证明，可以发现，当从有限到无限的时候，我们无法对α进行定义，故而也找不到符合条件的邻域使得无穷个无穷小乘积为无穷小成立。

你也可以这样理解，这无穷个无穷小中并不全是同阶的无穷小，而无穷小的阶表征了无穷小趋近于0的快慢，故而在任意时刻，都会存在无穷多个无穷小还没来得及达到0，故而总乘积也不一定是无穷小。

Answer 2

不一定是无穷小 注意无穷小是极限的概念 就是一个数列的极限趋向于0
举一个例子
无穷多个数列
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6...
1 2 1/3 1/4 1/5 1/6...
1 1 9 1/4 1/5 1/6...
1 1 1 4^3 1/5 1/6...
第n个数列前n-1项为1 第n项为n^(n-1) 第n项以后为1/(n+1) 1/(n+2)...
这样n个数列的极限都为0 也就是都为无穷小 但是你把他们乘起来会发现 它们乘积每一项都是1 所以乘积的极限是1 不是无穷小

如果对于我的证明有疑问可以再问我 楼上说的比大小是不对的 因为无穷小是一个极限的概念
希望能解决您的问题。

追问

那个例子能写清楚点吗，不太看得懂

Answer 3