Question

高中数学 数列

如图

Answer 1

(一）数列符号太难打，先看：若a=5b+√(24b²+1).b=5c+√(24c²+1).(a,b,c互不相等)===>(a-5b)²=24b²+1,(b-5c)²=24c²+1.===>a²-10ab+b²=1,b²-10bc+c²=1.两式相减可得:(a-c)(a+c)=10b(a-c).===>a=10b-c.若令a=X(n+1),b=Xn,c=X(n-1).则有X(n+1)=10Xn-X(n-1),(二）证明：（1）由X1=0,X(n+1)=5Xn+√(24Xn²+1).可知，X1=0,X2=1.X3=10.X4=99.且当n≥2时，Xn＞0.又X(n+1)-Xn=√(24X²+1)＞1.===>X(n+1)＞5Xn＞Xn.∴数列{Xn}是正项递增数列。（2）由递推式可得X(n+1)=10Xn-X(n-1).X1=0,X2=1,X3=10,X4=99.易知，当n≤4时，Xn均为正整数，假设当n≤k时，X1＜X2＜...＜Xk均为正整数，则X(k+1)=10Xk-Xk显然也是正整数，∴当n≥2时，Xn均为正整数。证毕。

Answer 2

数学归纳法

Answer 3

用归纳法，最终有：

Answer 4

用数学归纳法做，步骤按书上例题套