Question

设f（x）=3ax²+ 2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）>0，求证：

（1）方程f（x）有实根
（2）﹣2<b/a<﹣1

Answer 1

(1) c=-a-b
f(x)=3ax^2+2bx-a-b
f(0)f(1)=(-a-b)(2a+b)=-3ab-2a^2-b^2>0
delta=4b^2-12ac=>8(a^2+b^2)>=0
所以f（x）=0恒有实根

(2) f(0)f(1)=(-a-b)(2a+b)=-3ab-2a^2-b^2>0
t=b/a, t^2+3t+2<0
(t+1)(t+2）<0
-2<b/a<-1

(3）|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(4a^2-4ac+4c^2)/(9a^2)+4/9 (t+3/2)^2+1/3
1/3<|x1-x2|^2<4/9
so √3/3≤|x1-x2|＜2/3