Question

导函数在某点极限存在，且函数连续。

（1）f(x)x=a处连续
（2）f(x)x=a某空邻域内可导
（3）lim(x→a)f＇(x)存在
则)f＇(a)=lim(x→a)f＇(x）

意思就是函数连续，导函数在a点极限存在，那么该点就可导且连续，但是对于一个函数来说，函数在某点极限存在，该点也不一定存在啊

Answer 1

一般的函数在某点极限存在，该点确实不一定有定义，但是导函数有一些不同于一般函数的性质（这就是说不是随便给一个函数，它就能成为某个初等函数的导函数的）。你所说其实是导函数的一个重要性质，称为导数极限定理，证明过程一般教材上有。该定理的特殊之处在于，甚至不事先要求函数在x=a处可导，而只通过导函数在该点处的极限得出该点处的导数。用连续性的观点来看，这定理的本质是，导函数如果在某点处极限存在，则在该点连续，而这正是一般函数不具有的。从这个定理出发，可以推出其它一些导函数的性质，例如导函数的介值性，没有第一类间断点等。