Question

高中数学的一个数列求和，求解

Answer 1

借鉴了别人的答案：

利用恒等式(n+1)³=n³+3n²+3n+1,可以得到：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
......
3³-2³=3*(2²)+3*2+1
2³-1³=3*(1²)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n³+3n²+3n=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(n+1)n/2+n
n³+3n²+2n=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(n+1)n/2
(n³+3n²+2n)/3=(1²+2²+3²+....+n²)+(n+1)n/2
整理后得：
Sn=-(1^2+...+n^2+1+2+...+n)/2=-((1²+2²+3²+....+n²)+(n+1)n/2)/2=-(n³+3n²+2n)/6

追问

你的回答里有好多乱码呀 看不懂

追答

那是平方的代码。。。。。。。我重新写个：

利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^3+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
......
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
n^3+3n^2+2n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2
(n^3+3n^2+2n)/3=(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+(n+1)n/2
整理后得：
Sn=-(1^2+...+n^2+1+2+...+n)/2=-((1^2+2^2+3^2+....+n^2)+(n+1)n/2)/2=-(n^3+3n^2+2n)/6

Answer 2