Question

线性代数，用矩阵记号表示二次型的方法

26题，直接给出的答案，但是我不知道中间的矩阵到底怎么得来的啊？任意一道小题举例能说一下解题思路或者步骤吗？课本上的例题也是直接就写出来的。。看不懂啊 。。求指导！详细步骤！
是不是把xy或者yz或者xz这种组合的全部分成xy,yx或者xz,xz或者yz,zy的形式，如果系数是4就分成2和2如果系数是2就分成1和1，然后对应到矩阵的第几行第几列就行了？？

Answer 1

二次型经过正交变换化为标准型，等价于将二次型矩阵相似变换为对角型矩阵，由所给的标准型可知二次型矩阵相似变换为对角型的矩阵为diag(6,0,0)。再由相似的矩阵有相等的迹（矩阵的迹就是其主对角线上的元素之和）。

而原二次型的矩阵的迹为a+a+a=3a。对角型的矩阵diag(6,0,0)的迹为6+0+0=6。得3a=6，所以a=2。

重要定理

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

Answer 2

将所给式子的系数整理成对称矩阵，比如K*x1*x1它对应的是a11系数为K，k2*x1*x2 将其放在矩阵a1,2 位置和a2,1位置，它们的系数为k2/2，同理对于t*xm*xn对应矩阵位置是am,n 与an,m 系数均为t/2。

用矩阵形式表示二次型的方法：

二次型f(x,y,z)=ax²+by²+cz²+dxy+exz+fyz，用矩阵表示的时候，矩阵的元素与二次型系数的对应关系为：A11=a，A22=b，A33=c，A12=A21=d/2，A13=A31=e/2，A23=A32=f/2。

二次型的定义：

设f(x_1,x_2,...x_n)=∑a_ij * x_i*x_j 这里是系数， 满足aij=aji，则称f为n元二次型。

扩展资料：

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

解线性方程组的克拉默法则。

参考资料来源：百度百科-线性代数

Answer 3

将所给式子的系数整理成对称矩阵，比如K*x1*x1它对应的是a11系数为K,k2*x1*x2 将其放在矩阵a1,2 位置和a2,1位置，它们的系数为k2/2，同理对于t*xm*xn对应矩阵位置是am,n 与an,m 系数均为t/2.

追问

那如果不是x1.x2.x3而是x.y.z的话也相当于把x看成x1,y看成x2,z看成x3对吗？

追答

对啊，其实很简单的。都是这个规律。你是考研的，还是应付考试的

追问

考研的。已经懂了！3q!