Question

设f(x)=x²-2ax+2.当x∈[－1,+∞)时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

Answer 2

由已知，x^2-2ax+2 ≥ a 在 [-1，+∞）上恒成立，
就是 x^2-2ax+2-a ≥ 0 在 [-1，+∞）上恒成立，
由于 g(x)=x^2-2ax+2-a=(x-a)^2+2-a-a^2 ，开口向上，对称轴 x = a ，
因此（1）当 a < -1 时，只须 g(-1)=1+2a+2-a ≥ 0 ，
解得 -3 ≤ a < -1 ；
（2）当 a ≥ -1 时，只须 g(a)=2-a-a^2 ≥ 0 ，
解得 -1 ≤ a ≤ 1 ；
取并集，得 a 取值范围为 [-3，1] 。

Answer 3

要证明f(x)≥a恒成立，只要证明f(x)min≥a即可
二次函数的对称轴x=a 当a≤-1时，f(x)min=f(-1)=3+2a≥a，得到a≥-3，所以当-3≤a≤-1时f(x)≤a恒成立
当a＞-1时，f(x)min=f(a)=a²-2a²+2=-a²+2≥a，得到-2≤a≤1，因为a＞-1，所以当-1＜a≤1时f(x)≤a恒成立
综上所述，当-3≤a≤1时，f(x)≥a恒成立