Question

已知方程x^2-3x+1=0的两根ab也是方程x^6-px^2+q=0的两根，其中pq为整数，则q

已知方程x^2-3x+1=0的两根ab也是方程x^6-px^2+q=0的两根，其中pq为整数，则q=?

Answer 1

由已知，x^2-3x+1=0
满足方程x^6-px^2+q=0
将x^2=3x-1代入，得
(3x-1)^3-px^2+q=0
即27x^3-(27+p)x^2+9x+(q-1)=0
27x(x^2-3x+1)+81x^2-27x-(27+p)x^2+9x+(q-1)=0
整理得(54-p)x^2-18x+(q-1)=0
与x^2-3x+1=0同解
所以在方程(54-p)x^2-18x+(q-1)=0两边同时处以6
得(9-p/6)x^2-3x+(q-1)/6=0等同于x^2-3x+1=0
即(q-1)/6=1
q=7