高一函数问题,求解析式的简单题。有解答过程。解释下。
1.已知f(1+2√x)=2x+√x求函数f(x)的解析式。解:令1+2√x=t,则,x=(t-1)²/4(t≥1)所以f(t)=(t-1)²/2+(...
1.已知f(1+2√x)=2x+√x求函数f(x)的解析式。
解:令1+2√x=t,则,x=(t-1)²/4(t≥1)
所以f(t)=(t-1)²/2+(t-1)/2=(t²-t)/2(t≥1)
从而f(x)=(x²-x)/2(x≥1)
就是最后一步。为什么t就可以转换成x了?t和x是不一样的吖。
2.已知对一切x,y∈R,关系式f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y都成立,且f(0)=1
,求f(x)。
解:因为f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切x,y∈R都成立。所以令x=0
得f(-y)=f(0)-(1-y)y
又f(0)=1,所以f(-y)=y²-y+1,
再令x=-y,得f(x)=x²+x+1
解释每一步骤。我实在不明白 赋值 要怎么用。
3.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切x∈R,均有f(x)+f(x+2)=0,当-1<x≤1时,f(x)=2x-1,求当1<x≤3时,函数f(x)的解析式。
解:设1<x≤3,则-1<x-2≤1
又对任意的x∈R,有f(x)+f(x+2)=0
即f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)
又-1<x-2≤1时,
f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5
所以f(x)=-f(x-2)=-2x+5(1<x≤3)
故当x∈(1,3]时,f(x)=-2x+5
x+2哪去了。为什么全是x-2.解释下这题。。我看不懂。。。 展开
解:令1+2√x=t,则,x=(t-1)²/4(t≥1)
所以f(t)=(t-1)²/2+(t-1)/2=(t²-t)/2(t≥1)
从而f(x)=(x²-x)/2(x≥1)
就是最后一步。为什么t就可以转换成x了?t和x是不一样的吖。
2.已知对一切x,y∈R,关系式f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y都成立,且f(0)=1
,求f(x)。
解:因为f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切x,y∈R都成立。所以令x=0
得f(-y)=f(0)-(1-y)y
又f(0)=1,所以f(-y)=y²-y+1,
再令x=-y,得f(x)=x²+x+1
解释每一步骤。我实在不明白 赋值 要怎么用。
3.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切x∈R,均有f(x)+f(x+2)=0,当-1<x≤1时,f(x)=2x-1,求当1<x≤3时,函数f(x)的解析式。
解:设1<x≤3,则-1<x-2≤1
又对任意的x∈R,有f(x)+f(x+2)=0
即f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)
又-1<x-2≤1时,
f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5
所以f(x)=-f(x-2)=-2x+5(1<x≤3)
故当x∈(1,3]时,f(x)=-2x+5
x+2哪去了。为什么全是x-2.解释下这题。。我看不懂。。。 展开
2个回答
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1.已有f(t)=(t²-t)/2(t≥1),这是一个函数,函数的要素是定义域和对应规律,与代表变量的字母无关,所以它与f(x)=(x²-x)/2(x≥1)是同一个函数。如果你理解还有困难,想一想已知f(t)=(t²-t)/2,求f(a)怎么办?是否把所有的t换成a:f(a)=(a²-a)/2;那么,求f(x)怎么办?是否把所有的t换成x:f(x)=(x²-x)/2 ?
2.式子 f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y 满足3个条件:
①解析式对一切x,y∈R成立,允许令x=0;
②x和y之间是加减号连接,令x=0,字母x立即消失;
③f(0)已知,令x=0,等号右边的f(0)可立即得到一个数值。
因此解析过程令x=0是的f(x-y)这个二元解析式立即变成一元解析式:
f(-y)=1-(1-y)y
然后是整理:
f(-y)=y²-y+1
变量可以用y表示,也可以用-y表示,人们习惯用x表示,所以把-y换成x,就是左右两边的-y全换成x,就得到最后结果。
3.题目有一个条件:对任意的x∈R,有f(x)+f(x+2)=0!
令x=0,它成立;令x=a,它也成立;令x=a-2,它还成立;那么把x换成x-2,它也得成立,这是x+2→(x-2)+2=x,所以看起来x+2变没了。
这3道题都是巧妙地利用变量置换,把已知解析式化成需要的解析式,关键是不要把x、y……看死了,在允许的取值范围内,x可以改写为a,也可以改写为x-a,只要等式中所有的x同时更换就行了。高等数学中类似的手法很多,要逐渐适应。
2.式子 f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y 满足3个条件:
①解析式对一切x,y∈R成立,允许令x=0;
②x和y之间是加减号连接,令x=0,字母x立即消失;
③f(0)已知,令x=0,等号右边的f(0)可立即得到一个数值。
因此解析过程令x=0是的f(x-y)这个二元解析式立即变成一元解析式:
f(-y)=1-(1-y)y
然后是整理:
f(-y)=y²-y+1
变量可以用y表示,也可以用-y表示,人们习惯用x表示,所以把-y换成x,就是左右两边的-y全换成x,就得到最后结果。
3.题目有一个条件:对任意的x∈R,有f(x)+f(x+2)=0!
令x=0,它成立;令x=a,它也成立;令x=a-2,它还成立;那么把x换成x-2,它也得成立,这是x+2→(x-2)+2=x,所以看起来x+2变没了。
这3道题都是巧妙地利用变量置换,把已知解析式化成需要的解析式,关键是不要把x、y……看死了,在允许的取值范围内,x可以改写为a,也可以改写为x-a,只要等式中所有的x同时更换就行了。高等数学中类似的手法很多,要逐渐适应。
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