Question

高一函数问题，求解析式的简单题。有解答过程。解释下。

1.已知f（1+2√x）=2x+√x求函数f（x）的解析式。

解：令1+2√x=t，则，x=（t-1）²/4（t≥1）

所以f（t）=（t-1）²/2+（t-1）/2=（t²-t）/2（t≥1）

从而f（x）=（x²-x）/2（x≥1）

就是最后一步。为什么t就可以转换成x了？t和x是不一样的吖。

2.已知对一切x，y∈R，关系式f（x-y）=f（x）-（2x-y+1）y都成立，且f（0）=1

，求f（x）。

解：因为f（x-y）=f（x）-（2x-y+1）y对一切x，y∈R都成立。所以令x=0

得f（-y）=f（0）-（1-y）y

又f（0）=1，所以f（-y）=y²-y+1，

再令x=-y，得f（x）=x²+x+1

解释每一步骤。我实在不明白 赋值 要怎么用。

3.设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的函数，对一切x∈R，均有f（x）+f（x+2）=0，当-1＜x≤1时，f（x）=2x-1，求当1＜x≤3时，函数f（x）的解析式。

解：设1＜x≤3，则-1＜x-2≤1

又对任意的x∈R，有f（x）+f（x+2）=0

即f（x-2）=-f[（x-2）+2]=-f（x）

又-1＜x-2≤1时，

f（x-2）=2（x-2）-1=2x-5

所以f（x）=-f（x-2）=-2x+5（1＜x≤3）

故当x∈（1，3]时，f（x）=-2x+5

x+2哪去了。为什么全是x-2.解释下这题。。我看不懂。。。

Answer 1

1.已有f(t)=（t²-t）/2（t≥1）,这是一个函数，函数的要素是定义域和对应规律，与代表变量的字母无关，所以它与f(x)=（x²-x）/2（x≥1）是同一个函数。如果你理解还有困难，想一想已知f(t)=(t²-t)/2,求f(a)怎么办？是否把所有的t换成a：f(a)=(a²-a)/2;那么，求f(x)怎么办？是否把所有的t换成x:f(x)=(x²-x)/2 ?

2.式子 f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y 满足3个条件：
①解析式对一切x,y∈R成立，允许令x=0；
②x和y之间是加减号连接，令x=0，字母x立即消失；
③f(0)已知，令x=0,等号右边的f(0)可立即得到一个数值。
因此解析过程令x=0是的f(x-y)这个二元解析式立即变成一元解析式：
f(-y)=1-(1-y)y
然后是整理：
f(-y)=y²-y+1
变量可以用y表示，也可以用-y表示，人们习惯用x表示，所以把-y换成x,就是左右两边的-y全换成x,就得到最后结果。

3.题目有一个条件：对任意的x∈R，有f(x)+f(x+2)=0!
令x=0,它成立；令x=a，它也成立；令x=a-2，它还成立；那么把x换成x-2,它也得成立,这是x+2→(x-2)+2=x，所以看起来x+2变没了。

这3道题都是巧妙地利用变量置换，把已知解析式化成需要的解析式，关键是不要把x、y……看死了，在允许的取值范围内，x可以改写为a,也可以改写为x-a,只要等式中所有的x同时更换就行了。高等数学中类似的手法很多，要逐渐适应。

Answer 2

1.未知数只是个符号问题，不会改变函数的性质的。
2.f（x-2）=-f[（x-2）+2]=-f（x）把x换成（t-2)，那么“x+2”就等于（t-2)+2=t了，t再换成x就可以了。这题得注意范围