Question

高中数学集合奥赛问题

已知一族集合A1，A2，……，An具有性质： （1）每个Ai含有30个元素； （2）对每一对i、j：1≤i＜j≤n，Ai
已知一族集合A1，A2，……，An具有性质：
（1）每个Ai含有30个元素；
（2）对每一对i、j：1≤i＜j≤n，Ai∩Aj都是单元集；
（3）A1∩A2∩……∩An＝空集

答案说若n≥872则A1必有元素a属于除A1外的至少30个集合（因29*30+1=871）
什么意思，后面式子怎么来的，30*29到底是什么，跟抽屉原理有关系吗，什么关系，解释清楚一下

Answer 1

可以假设对Ai,A(i+1),…A(i+k)这(k+1)个集合彼此的交集都为同一元素a(即a是它们的公共元素),那么按性质3，当k最大时,a就不能出现在其他集合中.再结合性质2，不在该子族的另外的集合至少有k+1个元素，故有30≥k+1,所以k的最大值为29，也就是含有相同元素的集合至多有30.
为了使n最大，不妨假设这n个集合中恰好有30个含有相同元素的集合，去掉相同元素a后，这30个集合中每个集合都有29个元素，而其他集合中含有的与上述30个集合相同的元素的最多有29*29(理由就是前面证明的定理，注意由于已经有一个元素在前述的30个集合中了，所以含有相同元素的集合变为29，考虑性质2的制约，故对于不在前述的30个集合之内的集合应有29^2个)加上前面的30个，共有841+30=871.
以上的方法是正面进攻，反面进攻。
假设有K(K>30)个含有相同元素的集合，那么对于第K+1个集合而言，它一定含有前K个集合中的元素，即其元素总数大于30，与性质一矛盾。

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追答

能帮到你就可以了
怎么还会这样说？
我以为能帮到你呢，不好意思，耽误你时间了

Answer 2

注意到（2）说的是每一对i、j：1≤i＜j≤n，Ai∩Aj都是单元集，因此是29*30，是单元集的必要条件，这点由抽屉原理易知，还要再加1
希望能解决您的问题。

追问

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