Question

已知实数xy满足y=x^2-x+2(-1≤x≤1),试求(y+3)/(x+2)的最大值和最小值?

为什么最小值是在x=1时取到？

Answer 1

∵y＝x^2－x＋2，∴（y＋3）/（x＋2）＝（x^2－x＋5）/（x＋2）。
引入函数f（x）＝（x^2－x＋5）/（x＋2），则：
f′（x）
＝［（x^2－x＋5）′（x＋2）－（x^2－x＋5）（x＋2）′］/（x＋2）^2
＝［（2x－1）（x＋2）－（x^2－x＋5）］/（x＋2）^2
＝［（2x^2＋3x－2）－（x^2－x＋5）］/（x＋2）^2
＝（x^2＋4x－7）/（x＋2）^2。
令f′（x）＜0，得：（x^2＋4x－7）/（x＋2）^2＜0，∴x^2＋4x－7＜0，∴x^2＋4x＋4＜11，
∴（x＋2）^2＜11，∴－√11＜x＋2＜√11，∴－2－√11＜x＜－2＋√11。
∵－1≦x≦1，∴f（x）在［－1，1］上单调递减，
∴f（x）在x＝1时取得最小值。