Question

微积分无穷级数的问题，求过程或思路

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Answer 1

这是要做什么？求和？审敛？需指明。

追问

题目是审敛，但如果能求和希望也给个过程，3Q

追答

　　1）注意到
　　　sin{π√[(n^2)+(a^2)]}
　　= sin{nπ+π{√[(n^2)+(a^2)]-n}}
　　= sin(nπ)cos{π{√[(n^2)+(a^2)]-n}} + cos(nπ)sin{π{√[(n^2)+(a^2)]-n}}
　　= [(-1)^n]sin{π{√[(n^2)+(a^2)]-n}}
　　= [(-1)^n]sin{(a^2)π/{√[(n^2)+(a^2)]+n}}，
所以该级数是交错级数，易证数列 {sin{(a^2)π/{√[(n^2)+(a^2)]+n}}} 单调下降趋于 0，故该级数收敛，进一步的可以证明该级数条件收敛（留给你）。

　　2）该级数是交错级数，注意到
　　　1/(xe^x) - 1/[(x+1)e^(x+1)] = … > 0，x>1，
所以，
　　　∫[n+1,n+2][1/(xe^x)]dx
　　= …
　　= ∫[n,n+1]{1/[(x+1)e^(x+1)]}dx
　　≤ ∫[n,n+1][1/(xe^x)]dx，
又
　　　∫[n,n+1][1/(xe^x)]dx
　　< [e^(-n)]∫[n,n+1](1/x)dx
　 = [e^(-n)]ln[(n+1)/n] → 0 (n→∞)，
得知数列 {∫[n,n+1][1/(xe^x)]dx} 单调下降趋于 0，故该级数收敛。
　　好像可以直接证明该级数绝对收敛的。（算了，不写了，留给你）

Answer 2

先mark下，明早来解

追问

3Q

追答

1题暂时还没想到，2题要用到欧拉公式（高数上册-定积分章节）：