Question

交换二次积分的次序

图片里，dy前面少了f(x,y)

要求交换积分次序。

答案把积分区域分为了两部分：
D1：0 ≤ y ≤ 1，arcsiny ≤ x ≤ π-arcsiny；
D2：-1 ≤ y ≤ 0，π-arcsiny ≤ x ≤ 2π+arcsiny；

求解答过程，不明白π-arcsiny 和 2π+arcsiny怎么来的。
谢谢！

Answer 1

这道题重的积分区域就是sinx与x轴规定的从0到2pi，第一种表示方法题目已经给出，你可以想成正常地看。第二种方法，你可以把图转90度，横着看。这时候y轴“变成了”x轴。这样看的话首先y是从-1到1的。然后转化x为y的函数。标记最左边和最右边两个点（pi/2,1）,(3pi/2,-1)，这两个点把函数分成了三段，每一段对应的不同的反函数。 因为sinx不是单射，只是在某区间上单射然后重复。所以在寻找反函数的时候要找到单射的区间，然后一个一个2pi往上加。

追问

谢谢回答，但是我不太明如何在不同区间上求其反函数，可以稍微详细解释下吗，谢谢！真的感谢！

追答

这上说太麻烦，加qq吧 906644177