证明，谢谢
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设f(x)=ln(1+x)-x+1/2x^2，显然有f(0)=0，下面证明当x>0时，f(x)>f(0)=0
即只要能证明f(x)在x>0时为增函数即可
f '(x)=1/(1+x)-1+x=(x^2+x+1)/(1+x)-1>(x+1)/(1+x)-1=0 当x>0时
因此f(x)在x>0时为增函数，即f(x)>f(0)=0
即ln(1+x)-x+1/2x^2>0，则 ln(1+x)>x-1/2x^2
设f(x)=e^x-(1+x)
f(x)′=e^x-1
∵x＞0
∴f(x)′＞0
∴f(x)在(0,∽)上单调递增
∴f(x)＞f(0)=1-(1+0)=0
∴e^x-(1+x)＞0
∴e^x＞(1+x)
∴ln(e^x)＞ln(1+x)
∴x＞lnI1+x)
即只要能证明f(x)在x>0时为增函数即可
f '(x)=1/(1+x)-1+x=(x^2+x+1)/(1+x)-1>(x+1)/(1+x)-1=0 当x>0时
因此f(x)在x>0时为增函数，即f(x)>f(0)=0
即ln(1+x)-x+1/2x^2>0，则 ln(1+x)>x-1/2x^2
设f(x)=e^x-(1+x)
f(x)′=e^x-1
∵x＞0
∴f(x)′＞0
∴f(x)在(0,∽)上单调递增
∴f(x)＞f(0)=1-(1+0)=0
∴e^x-(1+x)＞0
∴e^x＞(1+x)
∴ln(e^x)＞ln(1+x)
∴x＞lnI1+x)
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追问
（x^2+x+1）/（1+x）-1是通过通分得来的吗
追答
是的
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