Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ， a 1 =- 2 3 ，满足S n 2 +2S n +1=a n S n （n≥2）．

已知数列{a n }的前n项和为S n ， a 1 =- 2 3 ，满足S n 2 +2S n +1=a n S n （n≥2）．（I）计算S 1 ，S 2 ，S 3 ，S 4 ，猜想S n 的表达式；（II）并用数学归纳法证明．

Answer 1

（I）由题设S n 2 +2S n +1-a n S n =0，当n≥2（n∈N * ）时，a n =S n -S n-1 ， 代入上式，得S n-1 S n +2S n +1=0．（*） S 1 =a 1 =- 2 3 ，∵S n + 1 S n =a n -2（n≥2，n∈N），令n=2可得 ，S 2 + 1 S 2 =a 2 -2=S 2 -a 1 -2，∴ 1 S 2 = 2 3 -2，∴S 2 =- 3 4 ． 同理可求得 S 3 =- 4 5 ，S 4 =- 5 6 ． （II）猜想S n =- n+1 n+2 ，n∈N + ，下边用数学归纳法证明： ①当n=1时，S 1 =a 1 =- 2 3 ，猜想成立． ②假设当n=k时猜想成立，即S K =- K+1 K+2 ，则当n=k+1时，∵S n + 1 S n =a n -2，∴ S K+1 + 1 S K+1 = a k+1 -2 ， ∴ S K+1 + 1 S K+1 = S K+1 - S K -2 ，∴ 1 S K+1 = K+1 K+2 -2= -K-3 K+2 ， ∴S K+1 =- K+2 K+3 ，∴当n=k+1时，猜想仍然成立． 综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 S n =- n+1 n+2 ，n∈N + 成立．