Question

已知直线与抛物线y 2 =2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，点D的坐标为（2，1），则p的

已知直线与抛物线y 2 =2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，点D的坐标为（2，1），则p的值为（　　） A． 5 2 B． 2 3 C． 5 4 D． 3 2

Answer 1

设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， ∵直线OD斜率为 1 2 ，OD⊥AB，∴直线AB斜率为-2， 故直线AB方程为2x+y-5=0…（1） 将（1）代入抛物线方程得y 2 +py-5p=0， 则y 1 y 2 =-5p， ∵ y 1 2 =2px 1 ， y 2 2 =2px 2 ， 则（y 1 y 2 ） 2 =4p 2 x 1 x 2 ， 故x 1 x 2 = 25 4 ， ∵OA⊥OB ∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0， ∵p＞0，∴p= 5 4 ． 故选C．