Question

如图，已知椭圆 的焦点为F 1 ，F 2 ，点P为椭圆上任意一点，过F 2 作 的外角平分线的垂线，垂足为点Q，

如图，已知椭圆 的焦点为F 1 ，F 2 ，点P为椭圆上任意一点，过F 2 作 的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作 轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为 。

Answer 1

如图，已知椭圆 的焦点为F 1 ，F 2 ，点P为椭圆上任意一点，过F 2 作 的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作 轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为       。

分析：点F 2 关于∠F 1 PF 2 的外角平分线PQ的对称点Q′在直线F 1 P的延长线上，故|F 1 Q′|=|PF 1 |+|PF 2 |=2a（椭圆长轴长），又OQ是△F2F1Q′的中位线，故|OQ|=a，由此可以求点M的轨迹方程． 解：点F 2 关于∠F 1 PF 2 的外角平分线PQ的对称点Q′在直线F 1 P的延长线上，故|F 1 Q′|=|PF 1 |+|PF 2 |=2a（椭圆长轴长）， 又OQ是△F2F1Q′的中位线，故|OQ|=2， 设M（x，y），则Q（2x，y）， 所以有4x 2 +y 2 =4， 故答案为 +x 2 =1．