Question

已知已知函数f(x)＝x2x+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列

已知已知函数f(x)＝x2x+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列；（Ⅱ）记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，试比较2Sn与1的大小．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得，an+1＝

an

2an+1

，
∴

1

an+1

＝

1

an

+2，即

1

an+1

?

1

an

＝2．
∴数列{

1

an

}是首项，公差d=2的等差数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

an

＝1+(n?1)×2＝2n?1，
∴an＝

1

2n?1

(n∈N*)，（8分）
∴anan+1＝

1

(2n?1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)，（10分）
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃++a_na_n+1=

1

1×3

+

1

3×5

++

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)++(

1

2n?1

?

1

2n+1

)]=

1

2

(1?

1

2n+1

)＝

n

2n+1

．（14分）
∴2Sn?1＝

2n

2n+1

?1＝

?1

2n+1

＜0（n∈N^*），∴2S_n＜1．（16分）