Question

如图1，已知⊙O的半径是2，C为直径BA延长线上一点，OC=4，过C作直线CF使∠OCF=30°．（1）求证：⊙O与直

如图1，已知⊙O的半径是2，C为直径BA延长线上一点，OC=4，过C作直线CF使∠OCF=30°．（1）求证：⊙O与直线CF相切；（2）如图2，设（1）中的切点为E，Q为圆周上一点，EQ交AB于D，cos∠AEQ=34，求BDDE的值；（3）如图3，设P为线段AC上的一个动点（不与A、C重合），求证：不论P在何处，总存在弦EQ（EQ与AB交于D）使得ED?QD=AP?PC成立．

Answer 1

（1）过O作OE⊥CF于E，
∵∠OCF=30°，
∴OE=

AB

2

=2
又∵⊙O的半径是2，
∴⊙O与CF相切；

（2）连结QA、QB，
∵OA=AC=2，△COE是直角三角形，
∴AE=

OC

2

=2，
∵cos∠AEQ=

3

4

，
∴cos∠ABQ=

3

4

，AB=4，
∴BQ=3，
∵∠AED=∠DBQ，∠ADE=∠BDQ，
∴△AED∽△BQD，
∴

BD

DE

=

QB

AE

=

3

2

；

（3）设AP=a（0＜a＜2），AD=x，则BD=4-x，令x（4-x）=a（2-a），即x²-4x+2a-a²=0，
∵△=4（4-2a+a²）＞0，
∴方程总有解，即不论P在何处，AD×BD=AP×PC总能成立，
又∵△AED∽△BQD，
∴ED×QD=AD×BD，
∴不论P在何处，总存在弦EQ使得ED×QD=AP×PC成立．