Question

（2008?武汉五月调考）如图所示，△OAB，△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．（1）如图1，点C在OA

（2008?武汉五月调考）如图所示，△OAB，△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．（1）如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点．求证：OM⊥BC．（2）如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转a（a为锐角），M为线段AD的中点．①线段OM与线段BC是否存在某种确定的数量关系？写出并证明你的结论；②OM⊥BC是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

解答：（1）证明：∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OC=OD，OA=OB，
∵在△AOD与△BOC中，

OA＝OB ∠AOD＝∠BOC OD＝OC

∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，
∵点M为线段AD的中点，∴OM=MD，
∴∠OAM=∠MOA=∠OBC，又因为∠MOA+∠MOD=90°，
所以∠OBC+∠MOD=90°，所以OM⊥BC

（2）①OM=

1

2

BC．
证明：延长AO到F，使FO=AO．连接DF，
则OB=OF，
∵M为AD中点，O为AF中点，
∴MO为△ADF中位线，
∴MO=

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2

DF，
∵∠AOB=∠BOF=∠COD=90°，
∴∠COB=∠DOF，
在△COB与△DOF，

OB＝OF ∠COB＝∠DOF CO＝DO

，
∴△COB≌△DOF（SAS），
∴DF=BC，
∴MO=

1

2

BC；
②∵MO为△ADF的中位线，
∴MO∥DF，
∴∠MOA=∠F，
又∵△COB≌△DOF，
∴∠CBO=∠F，
∵∠AOC+∠FOD=90°，
∴∠CBO+∠BOM=90°，
即OM⊥BC．