Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn=pn2-2n+q（p，q∈R），n∈N*．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）若a1与a5的等差中项

已知等差数列{an}的前n项和为Sn=pn2-2n+q（p，q∈R），n∈N*．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足an=2log2bn，求数列{bn}的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=p-2+q，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=pn²-2n+q-p（n-1）²+2（n-1）-q=2pn-p-2，
∵{a_n}是等差数列，
∴p-2+q=2p-p-2，∴q=0．
（Ⅱ）依题意a3＝

a1+a5

2

，
∴a₃=18．
又a₃=6p-p-2，
∴6p-p-2=18，
∴p=4，∴a_n=8n-6，
又a_n=2log₂b_n，得bn＝24n?3，
∴b₁=2，

bn+1

bn

＝

24(n+1)?3

24n?3

=2⁴=16，
即{b_n}是等比数列．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

2(1?16n)

1?16

＝

2

15

(16n?1)．