Question

如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l 1 、l 2 、l 3 、l 4 上，这四条直线中：相邻两条之间

如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l 1 、l 2 、l 3 、l 4 上，这四条直线中：相邻两条之间的距离依次为 h 1 、h 2 、h 3 (h 1 >0，h 2 >0 , h 3 >0) . (1)求证：h 1 = h 3 ； (2)设正方形ABCD的面积为 S，求证：S=(h l +h 2 ) 2 +h 1 2 ；(3)若 h l + h 2 = 1，当 h 1 变化时. 说明正方形ABCD 的面积S 随h 1 的变化情况.

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Answer 1

解： (1)过A点作AF⊥l 3 分别交 1 2 、1 3 于点 E、F，过C点作CG⊥l 3 交l 2 于点G，     ∵l 2 //l 1 , ∴∠2 =∠3， ∵∠1+∠2= 90°，∠4+∠3 =90°， ∴∠1=∠4 又∵∠BEA = ∠DGC=90°，BA=DC， ∴△BEA≌△DGC， ∴AE= CG，即h 1 =h 3 .     (2) ∵∠FAD +∠3 = 90° . ∠4 + ∠3 =90° ∴∠FAD =∠4 又 ∵ ∠AFD=∠DGC 90°，  AD =DC， ∴△AFD≌△DGC. ∴DF=CG， ∵AD 2 =AF 2 +FD 2 ， ∴S=(h l +h 2 ) 2 +h 1 2 . (3)由题意.得 所以 = 又 ， 解得 ∴当 0< h 1 < 时，S随h 1 的增大而减小； 当h 1 = 时.S取得最小值 ； 当 时，S随h 1 的增大而增大.