Question

已知△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出

已知△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②tan∠PEF= 3 3 ；③S △EPF 的最小值为 1 2 ；④S 四边形AEPF =1．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有______．

Answer 1

∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角， ∴∠APE=∠CPF， ∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点， ∴AP=CP， 又∵AP=CP，∠EPA=∠FPC， ∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE， ∴AE=CF（故①正确），△EPF是等腰直角三角形（最小值为1，tan∠PEF=1，故②错误③正确），S 四边形AEPF = 1 2 S △ABC =1（故④正确），①③④正确； 故答案为：①③④．