Question

（2008?厦门质检）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=2AD，对角线AC与BD相交于点P，且AC⊥BD

（2008?厦门质检）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=2AD，对角线AC与BD相交于点P，且AC⊥BD，过点P作PE∥BC交AB于点E．（1）已知△APD的面积为1，求△BPC的面积．（2）求证：BE2=BP?DP．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADP=∠CBP，∠DAP=∠BCP，
∴△ADP∽△CBP，
∴BC=2AD，

AD

BC

＝

1

2

，

S△APD

S△CPB

＝(

1

2

)2＝

1

4

，
∴S_△CPB=4S_△APD=4×1=4；

（2）过A作AM⊥BC，垂足为M，
∵AD∥BC，∠DCB=90°，
∴四边形AMCD是矩形，
∵BC=2AD
∴AD=MC=BM，
∴AM是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
又EP∥BC，
∴∠AEP=∠ABC=∠ACB=∠APE，
∴AE=AP，
∴EB=PC，
又AC⊥BD，∠BPC=CPD=90°，
∠DCB=90°，
∴∠BCP=∠PDC，△BCP∽△CPD，

PC

BP

＝

DP

PC

，
∴PC²=BP?DP，
∴BE²=BP?DP．