Question

设数列{an}的前n项和Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b1（a2-a1）=b2．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公

设数列{an}的前n项和Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b1（a2-a1）=b2．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Cn=anbn4，求数列{cn}前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和S_n=2n²，
∴当n=1时，a₁=S₁=2；
当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝2n2?2(n?1)2＝4n?2，
n=1时，4n-2=2=a₁，…（4分）
∴{a_n}的通项公式为a_n=4n-2．
∵{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₁（a₂-a₁）=b₂，
∴b₁=2，b₁×4=b₂，∴b_n=2?4^n-1．…（6分）
（Ⅱ）∵cn＝

anbn

4

＝

(4n?2)4n?1

4

＝(2n?1)4n?1，
∴Tn＝1+3×4+5×42+…+(2n?1)×4n?1，
4Tn＝1×4+3×42+5×43+…+(2n?1)×4n，…（8分）
两式相减得：
3Tn＝?1?2(4+42+…+4n?1)+(2n?1)?4n
=

1

3

[(6n?5)?4n+5]，…（10分）
∴Tn＝

1

9

[(6n?5)4n+5]．…（12分）