Question

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小及角A的取值

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小及角A的取值范围；（2）设.m=（sinA，1），.n=（3，cos2A），试求m?n的最大值．

Answer 1

（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，…（2分）
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，又sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，…（5分）
又B为锐角，∴B=60°，
∵△ABC是锐角三角形，即A为锐角，
∴30°＜A＜90°；…（6分）
（2）∵

.

m

=（sinA，1），

.

n

=（3，cos2A），
∴

m

?

n

=3sinA+cos2A=-2sin²A+3sinA+1=-2（sinA-

3

4

）²+

17

8

，…（10分）
∵30°＜A＜90°，∴

1

2

＜sinA＜1，
∴当sinA=

3

4

时，

m

?

n

的最大值为

17

8

．…（12分）