Question

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E．求证：BE=DE．（2）如图2，AB

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E．求证：BE=DE．（2）如图2，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE．求证：FC是⊙O的切线．

Answer 1

（1）证明：作CF⊥BE，垂足为F，如图1，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠FED=∠D=∠CFE=90°，
∠CBE+∠ABE=90°，
∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵四边形EFCD为矩形，
∴DE=CF．
在△BAE和△CBF中，

∠BAE＝∠CBF ∠AEB＝∠BFC AB＝BC

，
∴△BAE≌△CBF（AAS），
∴BE=CF，
∴BE=DE；

（2）证明：连接OC，如图2，
∵FC=FE，
∴∠FCE=∠FEC，
又∵∠AED=∠FEC，
∴∠FCE=∠AED．
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠A，
∵DF⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠A+∠AED=90°，
∴∠FCE+∠OCE=90°，
∴∠FCO=90°，
即OC⊥FC，
又∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．