Question

如图1，已知双曲线y=k1x（k1＞0）与直线y=k2x交于A、B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：（1）若点A

如图1，已知双曲线y=k1x（k1＞0）与直线y=k2x交于A、B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：（1）若点A坐标为（4，2），则B点坐标为______．若点A的横坐标为m，则B点坐标为（-m，-k2m）或（-m，-k1m）（-m，-k2m）或（-m，-k1m）（用含m和k1或k2的式子表示）；（2）如图2，过原点作另一条直线l，交双曲线y=k1x（k1＞0）于P、Q两点，说明四边形APBQ是平行四边形；（3）设点A、P的横坐标分别为m、n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m、n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵双曲线和直线y=k₂x都是关于原点的中心对称图形，它们交于A，B两点，
∴B的坐标为（-4，-2），
（-m，-k₂m）或（-m，-

k1

m

）；
故答案为：（-4，-2）；（-m，-k₂m）或（-m，-

k1

m

）．


（2）由勾股定理OA=

m2+(k 2m)2

，
OB=

(?m)2+(?k 2m)2

=

m2+(k 2m)2

，
∴OA=OB．
同理可得OP=OQ，
所以四边形APBQ一定是平行四边形；

（3）设点A、P横坐标分别为：m，n，
由（1）可知A点坐标为（m，

k1

m

），点P坐标为：（n，

k1

n

），
要OP=OA，
只要m²+

k 2 1

m2

=n²+

k 2 1

n2

，
可得mn=k₁（∵m、n、k₁均为正数），
∴当mn=k₁时，OP=OA，
此时PQ=AB，四边形APBQ是矩形；
四边形APBQ不可能是正方形，
理由：点A，P不可能达到坐标轴，即∠POA≠90°．