已知函数f(x)=2lnx-ax+a(a∈R).(1)如果曲线y=f(x)在(1,0)处的切线恰与直线y=x平行,求a的值

已知函数f(x)=2lnx-ax+a(a∈R).(1)如果曲线y=f(x)在(1,0)处的切线恰与直线y=x平行,求a的值;(2)讨论f(x)的单调性;(3)若f(x)≤... 已知函数f(x)=2lnx-ax+a(a∈R).(1)如果曲线y=f(x)在(1,0)处的切线恰与直线y=x平行,求a的值;(2)讨论f(x)的单调性;(3)若f(x)≤0恒成立,证明:当0<x1<x2时,f(x2)?f(x1)x2?x1<2(1x2-1). 展开
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鲿賄
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(1)解:因为f(x)=2lnx-ax+a,
所以f′(x)=
2
x
?a

因为曲线y=f(x)在(1,0)处的切线恰与直线y=x平行,
所以2-a=1,
所以a=1;
(2)解:f′(x)=
2
x
?a
=
2?ax
x
(x>0),
①当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数;
②当a>0时,令f'(x)=0,可得x=
2
a

所以当x∈(0,
2
a
)时,f'(x)>0,f(x)在(0,
2
a
)上是增函数;
当x∈(
2
a
,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(
2
a
,+∞)上是减函数.
所以当a≤0时,f(x)的递增区间是(0,+∞);
当a>0时,f(x)的递减区间是(
2
a
,+∞),f(x)的递增区间是(0,
2
a
);
(3)证明:由(2)知,当a≤0时,f(x)的递增区间是(0,+∞),且f(1)=0,
所以x>1时,f(x)>f(1)=0,所以f(x)≤0不恒成立;
a>0时,f(x)的递减区间是(
2
a
,+∞),f(x)的递增区间是(
2
a
,+∞),
要使f(x)≤0恒成立,则f(
2
a
)≤0即可,
所以求满足2ln
2
a
+a-2≤0成立的a.
令g(x)=2(ln2-lnx)+x-2,则g′(x)=
x?2
x
(x>0),
所以有g(x)在(0,2(上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
所以gmin(x)=g(2)=0,
所以当且仅当a=2时,f(x)≤0恒成立
此时f(x)=2lnx-2x+2.
因为0<x1<x2
所以
f(x2)?f(x1)
x2?x1
<2(
1
x2
-1)等价于ln
x2
x1
x2
x1
-1,
令t=
x2
x1
(t>1),则只需证明lnt<t-1,
令h(t)=lnt-t+1,则h′(t)=
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