Question

设函数f（x）在[a，b]二阶可导，f′（a）=f′（b）=0．证明存在ξ∈（a，b），使|f″（ζ）|≥4(b?a)2|f

设函数f（x）在[a，b]二阶可导，f′（a）=f′（b）=0．证明存在ξ∈（a，b），使|f″（ζ）|≥4(b?a)2|f（b）-f（a）|．

Answer 1

解答：证：将f(

a+b

2

)在a，b展开为：
f(

a+b

2

)＝f(a)+f′(a)(

b?a

2

)+

f″(ξ1)

2!

(

b?a

2

)2，a＜ξ1＜

a+b

2

f(

a+b

2

)＝f(b)+f′(b)(

a?b

2

)+

f″(ξ2)

2!

(

b?a

2

)2，

a+b

2

＜ξ2＜b
利用条件f′（a）=f′（b）=0，将以上两式相减：
|f(b)?f(a)|≤

(b?a)2

8

[|f″(ξ1)|+|f″(ξ2)|]
设|f″（ξ）|=max{|f″（ξ₁）|，|f″（ξ₂）|}，则有：
|f(b)?f(a)|≤

(b?a)2

4

|f″(ξ)|，
于是
|f″(ζ)|≥

4

(b?a)2

|f(b)?f(a)|．