Question

X1和X2是来自正态总体的简单随机分布,求证X1+X2与X1-X2相互独立

Answer 1

X1和X2是来自正态总体的简单随机分布

所以，X1、X2相互独立且服从正态分布

所以，X1+X2与X1-X2都服从正态分布

Cov（X1+X2，X1-X2）

=Cov（X1，X1）-Cov（X2，X2）

=D(X1)-D(X2)

=0

所以，X1+X2，X1-X2互不相关，

X1+X2与X1-X2都服从正态分布，且互不相关，

所以，X1+X2与X1-X2相互独立！

追问

非常感谢您的热心回答，我还有点疑问，当x,y分别服从一维正态分布时　独立可以推不相关　　而不相关不能推独立。只有当　x,y分别服从二维正太分布（x,y）时,相关和独立互为充要条件　。。。本题中X~N（μ，σ∧2）。。。。

追答

这里改一改：

X1、X2相互独立且服从正态分布

所以，（X1+X2，X1-X2）服从二维正态分布

这是一个定理：