Question

在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．（1）求

在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．（1）求点C的坐标；（2）若抛物线y=- 1 2 x 2 +ax+2经过点C．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P（点C除外）使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D， ∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°， 又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°， ∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，-2）， ∴OA=CD=1，OB=AD=2， ∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点， ∴C的坐标为（3，-1）； （2）①∵抛物线y=- 1 2 x 2 +ax+2经过点C，且C（3，-1）， ∴把C的坐标代入得：-1=- 9 2 +3a+2，解得：a= 1 2 ， 则抛物线的解析式为y=- 1 2 x 2 + 1 2 x+2； ②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形， （i）若以AB为直角边，点A为直角顶点， 则延长CA至点P 1 使得P 1 A=CA，得到等腰直角三角形ABP 1 ，过点P 1 作P 1 M⊥x轴，如图所示， ∵AP 1 =CA，∠MAP 1 =∠CAD，∠P 1 MA=∠CDA=90°， ∴△AMP 1 ≌△ADC， ∴AM=AD=2，P 1 M=CD=1， ∴P 1 （-1，1），经检验点P 1 在抛物线y=- 1 2 x 2 + 1 2 x+2上； （ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP 2 ⊥BA，且使得BP 2 =AB， 得到等腰直角三角形ABP 2 ，过点P 2 作P 2 N⊥y轴，如图， 同理可证△BP 2 N≌△ABO， ∴NP 2 =OB=2，BN=OA=1， ∴P 2 （-2，-1），经检验P 2 （-2，-1）也在抛物线y=- 1 2 x 2 + 1 2 x+2上； （iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP 3 ⊥BA，且使得BP 3 =AB， 得到等腰直角三角形ABP 3 ，过点P 3 作P 3 H⊥y轴，如图， 同理可证△BP 3 H≌△BAO， ∴HP 3 =OB=2，BH=OA=1， ∴P 3 （2，-3），经检验P 3 （2，-3）不在抛物线y=- 1 2 x 2 + 1 2 x+2上； 则符合条件的点有P 1 （-1，1），P 2 （-2，-1）两点．