Question

甲、乙两名教师进行乒乓球比赛，采用七局四胜制（先胜四局者获胜）．若每一局比赛甲获胜的概率为 2

甲、乙两名教师进行乒乓球比赛，采用七局四胜制（先胜四局者获胜）．若每一局比赛甲获胜的概率为 2 3 ，乙获胜的概率为 1 3 ．现已赛完两局，乙暂时以2：0领先．（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时比赛的总局数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

Answer 1

解（1）甲获得这次比赛胜利情况有二，一是比赛六局结束，甲连续赢了四局，一是比赛了七局，甲在后五局中赢了四局，且最后一局是甲赢， 由此得甲获得这次比赛胜利的概率为 ( 2 3 ) 4 +C 4 3 × ( 2 3 ) 3 × 1 3 = 16 81 + 32 81 = 48 81 = 16 27 甲获得这次比赛胜利的概率 16 27 ． （2）随机变量ξ的所有可能取值为4，5，6，7 随机变量ξ的分布列为 P（ξ=4）= ( 1 3 ) 2 = 1 9 ， P（ξ=5）= C 12 × 1 3 × 2 3 × 1 3 = 4 27 ， P（ ξ=6）= ( 2 3 ) 4 +C 13 1 3 ? ( 2 3 ) 2 ? 1 3 = 28 81   P（ξ=7）= C 14 ? 1 3 ? ( 2 3 ) 3 ? 1 3 + C 34 ( 2 3 ) 3 ? 1 3 ? 2 3 = 32 81 ． ∴随机变量ξ的数学期望为E（ξ）= 4× 1 9 +5× 4 27 +6× 28 81 +7× 32 81 = 488 81 ．