Question

已知函数 f(x)= a x +lnx(a∈R) ，当x=1时，函数y=f（x）取得极小值．（1）求a的值；（2）证明

已知函数 f(x)= a x +lnx(a∈R) ，当x=1时，函数y=f（x）取得极小值．（1）求a的值；（2）证明：若 x∈(0， 1 2 ) ，则 f(x)＞ 3 2 -x ．

Answer 1

（1）函数的定义域为（0，+∞）． f′(x)=- a x 2 + 1 x = x-a x 2 ． ∵x=1时函数y=f（x）取得极小值， ∴f′（1）=0，得a=1． 当a=1时，在（0，1）内f′（x）＜0，在（1，+∞）内f′（x）＞0， ∴x=1是函数y=f（x）的极小值点． 故a=1． （2）证明：f（x） ＞ 3 2 -x等价于：f（x）+x ＞ 3 2 ． 令g（x）=f（x）+x，则 g′(x)= x-1 x 2 +1= x 2 +x-1 x 2 ， 令h（x）=x 2 +x-1， ∵h（0）=-1＜0，h（ 1 2 ）= - 1 4 ＜0， ∴ x∈(0， 1 2 ) 时，h（x）＜0， ∴g′（x）＜0， ∴g（x）在（0， 1 2 ）上单调递减． ∴g（x） ＞g( 1 2 ) ，即g（x）＞2-ln2+ 1 2 = 3 2 +(1-ln2) ＞ 3 2 ， ∴f（x）+x ＞ 3 2 ， 故f（x） ＞ 3 2 -x ．