Question

设函数f（x）=mx2-mx-1．（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x∈[1，3]，f（

设函数f（x）=mx2-mx-1．（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜-m+5恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）当m=0时，f（x）=-1＜0恒成立，
当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，
则

m＜0 △＝m2+4m＜0

解得-4＜m＜0
综上所述m的取值范围为（-4，0]----------------（4分）
（2）要x∈[1，3]，f（x）＜-m+5恒成立，
即m(x?

1

2

)2+

3

4

m?6＜0，x∈[1，3]恒成立．
令g(x)＝m(x?

1

2

)2+

3

4

m?6＜0，x∈[1，3]------------------------------（6分）
当 m＞0时，g（x）是增函数，
所以g（x）_max=g（3）=7m-6＜0，
解得m＜

6

7

．所以0＜m＜

6

7

当m=0时，-6＜0恒成立．
当m＜0时，g（x）是减函数．
所以g（x）_min=g（1）=m-6＜0，
解得m＜6．
所以m＜0．
综上所述，m＜

6

7

-----------------------------------------------------------（12分）