Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中，b2=5，且公差d=2．（1）求数列

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中，b2=5，且公差d=2．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得a1b1+a2b2+…+anbn＞60n？若存在，求n的最小值，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵a_n+1=2S_n+1，
∴当n≥2时，a_n=2S_n-1+1两式相减得：a_n+1=3a_n（n≥2）
又a₂=2a₁+1=3=3a₁，∴a_n+1=3a_n（n∈N*）．
∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴a_n=3^n-1．
又b₁=b₂-d=5-2=3，∴b_n=b₁+（n-1）d=2n-1．
（2）an?bn＝(2n+1)?3n?1
令Tn＝3×1+5×3+7×32+…+(2n?1)×3n?2+(2n+1)×3n?1…①
则3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ…②
①-②得：?2Tn＝3×1+2(3+32+…+3n?1)?(2n+1)×3n
∴T_n=n×3ⁿ＞60n，即3ⁿ＞60，
∵3³=27，3⁴=81，
∴n的最小正整数为4．