Question

如图．△ABC内接于⊙O，AC＞BC，点D为AB的中点．求证：AD2=AC?BC+CD2

如图．△ABC内接于⊙O，AC＞BC，点D为AB的中点．求证：AD2=AC?BC+CD2．

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

Answer 1

证明：如图，过点D作DE⊥AC．
垂足为点E，
AD²-CD²=（AE²+DE²）-（DE²+EC²）
=AE²-EC²，
=（AE+EC）（AE-EC）
=AC（AE-CE），①
过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F．连接BD，
∵D为弧AB的中点，
∴AD=BD，
∵∠DAC=∠DBC，∠DEA=∠DFB=90°，
∴Rt△AED≌Rt△BFD，
∴AE=BF，②
DE=DF，
∵∠DEC=∠DFC=90°，DC=DC，
∴Rt△CED≌Rt△CFD，
∴CE=CF③
综合式①、②、③，得：AD²-CD²=AC（BF-CF）=AC?BC，
即：AD²=AC?BC+CD²．