Question

已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，F（x）=(

已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，F（x）=(x+1)2(x＞0)?(x+1)2(x＜0).求F（2）+F（-2）的值；（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

（1）由已知c=1，f（-1）=a-b+c=0，且-

b

2a

=-1，解得a=1，b=2．
∴f（x）=（x+1）²．
又F（x）=

(x+1)2(x＞0) ?(x+1)2(x＜0)

，
∴F（2）+F（-2）=（2+1）²+[-（-2+1）²]=8．
（2）由题知f（x）=x²+bx，原命题等价于-1≤x²+bx≤1在x∈（0，1]恒成立，即b≤

1

x

-x且b≥-

1

x

-x在x∈（0，1]恒成立，
根据单调性可得

1

x

-x的最小值为0，
-

1

x

-x的最大值为-2，
所以-2≤b≤0．