Question

已知函数f（x）=（x2-a+1）ex，g（x）=（x2-2）ex+2．（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为l：y

已知函数f（x）=（x2-a+1）ex，g（x）=（x2-2）ex+2．（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为l：y=2ex+b，求a，b的值；（2）若函数f（x）在[-3，1]上是单调函数，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个不同极值点m，n（m＜n），且|m+n|≥|mn|-1，记F（x）=e2f（x）+g（x），求F（m）的最大值．

Answer 1

（1）f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x  
由题意：f′（1）=（4-a）e=2e，
解得：a=2，
∴f（x）=（x²-1）e^x    
又f（1）=0=2e+b，
∴b=-2e   
（2）若函数f（x）在[-3，1]上是单调递增函数
则f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x≥0在[-3，1]上恒成立，
即x²+2x-a+1≥0，
∴a≤x²+2x+1=（x+1）²在[-3，1]上恒成立，
∴a≤0，
若函数f（x）在[-3，1]上是单调递减函数
则f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x≤0在[-3，1]上恒成立，
即x²+2x-a+1≤0，
a≥x²+2x+1=（x+1）²在[-3，1]上恒成立，
∴a≥4，
综上，若函数f（x）在[-3，1]上是单调函数，则a的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）；
（3）令f′（x）=0得：x²+2x-a+1=0
由题意：△=4-4（1-a）=4a＞0，
即a＞0，
且：m+n=-2，mn=1-a（m＜n），
∵|m+n|≥|mn|-1，
∴|a-1|≤3，
∴0＜a≤4，
∵f′（m）=（m²+2m-a+1）e^m=0，
∴a=m²+2m+1，
∴0＜m²+2m+1≤4
∴-3≤m≤1且m≠-1，
又∵m＜n，
∴-3≤m＜-1
∴F（x）=（x²-a+1）e^x+2+（x²-2）e^x+2=（2x²-a-1）e^x+2
∴F（m）=（2m²-a-1）e^m+2=（m²-2m-2）e^m+2
∴F′（m）=（m²-4）e^m+2
∴F（m）在[-3，-2]上单调递增，在[-2，-1）上单调递减
∴F_max（m）=F（-2）=6．